Список вопросов базы знаний

Дана правильная треугольная призма , стороны основания которой равны . Найдите угол между прямыми и , если сумма длин всех сторон обеих оснований равна .

Точка — середина стороны основания правильной треугольной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой и плоскостью боковой грани

В прямом кругом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда , равная перпендикулярна диаметру Найти площадь сечения цилиндра плоскостью если образующая цилиндра.

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной стороной основания равной 6 и боковым ребром 5, проведена плоскость через середины ребер и В пирамиду вписан шар. Найти площадь сечения шара плоскостью

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности и три из них — основания конуса.

Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.

Внутри правильного тетраэдра с ребром a? расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b,? а плоский угол при вершине равен ?.? Найдите радиус сферы описанной около пирамиды.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.? Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60?°.? Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.? Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60?°.? Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 45‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны a. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ описана около шара радиуса R. Точки M и N — середины рёбер BB₁ и CC₁. В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём цилиндра

В правильной треугольной призме все ребра которой равны, точка — середина Найдите угол между плоскостью и плоскостью где — середина

Дан куб c ребром, равным 4. Пусть точка лежит на стороне так, что Найдите расстояние от точки до плоскости , где — середина

Дан единичный куб Пусть точка — середина Найдите расстояние от точки до прямой

Сфера с центром в точке вписана в прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямыми и где — середина

Дан куб c ребром 5 см. Точка движется по сторонам квадрата со скоростью 1см/с, стартуя из точки . Двигаясь в направлении точка через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью и плоскостью где — середина

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми и

В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом и гипотенузой Найти расстояние от точки до прямой если точка — середина ребра которое равно

В кубе с ребром 1 на ребре и выбраны точки и соответственно так, что а Найти расстояние между прямыми и

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол между плоскостями и

К диагонали куба провели перпендикуляры из середин ребер и Найдите угол между этими перпендикулярами.

Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины и Найдите величину этого угла.

В правильной треугольной пирамиде с вершиной на сторонах и выбраны точки и соответственно так, что треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия На прямой выбрана точка так, что Найти расстояние от точки до плоскости если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной , со стороной основания, равной и боковым ребром 5 найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через середины и и вершину .

Точки — середины ребер и соответственно куба Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

В правильной призме со стороной основания, равной и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом , равным 30 градусам. Найти площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет нижнего основания и середину гипотенузы верхнего основания, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины до искомого сечения и равно 6.

В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник Боковая грань, проходящая через основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре отмечена точка так, что прямая образует угол с плоскостью основания, а объем пирамиды в два раза меньше объема пирамиды Найти площадь сечения если треугольник равносторонний.

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат а высота пирамиды совпадает с ребром Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата равна 15.

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

В прямую призму ABCDA₁B₁C₁D₁, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — боковые ребра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C'.

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что угол

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA₁ отмечена точка M так, что AM : A₁M = 1 : 3.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD₁.

б) Найдите площадь полученного сечения.

На боковых ребрах правильной треугольной призмы расположены точки и М соответственно. Известно, что угол между прямыми и АВ равен а угол между прямым КМ и АС –

а) Постройте плоскость, проходящую через точки и М.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН. Докажите, что прямая PC перпендикулярна плоскости DH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра C₁D₁, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC₁.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь полученного сечения.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра AA₁. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA₁C₁.

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основание пирамиды.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны 1. Точка E — середина ребра АС.

а) Постройте сечение призмы плоскостью A₁B₁E;

б) Найдите площадь этого сечения.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA₁, причем AM : MA₁ = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC₁.