Список вопросов базы знаний

Решите неравенство:

Решите неравенство:

Решите неравенство:

Решите неравенство:

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство:

Решите неравенство .

Решите неравенство

Решите неравенство

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 4 и 3. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 32. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри угла.

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Площадь трапеции ABCD равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ?A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

В прямоугольнике Точка на прямой выбрана так, что Найдите

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол ?, tg ? = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 0,5. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 17, AC = 25 и BC = 28. На стороне BC взята точка M, причём Найдите площадь треугольника AMB.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции втрое больше другого.

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ? равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВE, если известно, что и .

Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ? равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что и .

В прямоугольнике со сторонами и на стороне расположены точки и таким образом, что при этом — точка пересечения прямых и . Площадь треугольника равна . Найдите длину отрезка, соединяющего точки и .

В параллелограмме биссектрисы углов при стороне делят сторону точками и так, что Найдите если

Основание равнобедренного треугольника равно косинус угла при вершине равен Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Площадь трапеции равна 810. Диагонали пересекаются в точке Отрезки, соединяющие середину основания с вершинами и пересекаются с диагоналями трапеции в точках и Найдите площадь треугольника если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

На прямой, содержащей медиану прямоугольного треугольника с прямым углом , взята точка , удаленная от вершины на расстояние, равное Найдите площадь треугольника , если ,

Расстояния от точки расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ? BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что

Медианы АА₁ и ВВ₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.

В треугольнике Точка D лежит на прямой BC причем . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка а на другой — точки и причем треугольник — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 13, AC = 5 и BC = 12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 4 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Дан треугольник со сторонами и На стороне взята точка а на отрезке — точка причем и Окружность с центром проходит через точку Найдите расстояние от точки до точки пересечения этой окружности с прямой

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 29, AC = 20 и BC = 21. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 7 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Радиус окружности, описанной около треугольника , равен 13, высота, проведённая к стороне равна 5. Найдите длину той хорды описанной окружности, которая делится пополам стороной