Список вопросов базы знаний

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы AD = 6, АВ = 5 и АА₁ = 9. Найдите объем пирамиды EB₁C₁F, где Е – точка на AA₁ и АЕ = 6, a F – точка на CD и CF = 4

В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3, ВС = 10, ÐМАС = 45°

Высота правильной четырехугольной призмы равна 8, а сторона основания равна . Найдите расстояние от вершины A до плоскости

Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК

Дана правильная призма АВСА₁В₁С₁, где АА₁, ВВ₁ и СС₁ – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА₁, пересекает ребро А₁С₁ в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ₁. Известно, что АВ = 12, А₁М : МС₁ = 3 : 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы

Дана правильная призма АВСА₁В₁С₁, где АА₁, ВВ₁ и СС₁ – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА₁, пересекает ребро А₁С₁ в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ₁. Известно, что АВ = 12, А₁М : МС₁ = 3 : 1. Найдите высоту призмы

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной . Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса

Дана правильная треугольная пирамида. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого радиуса вписана в боковую грань пирамиды. Найдите сторону основания треугольной пирамиды

Дана правильная шестиугольная пирамида. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите сторону основания пирамиды, если объем конуса равен

Дана призма АВСDА₁В₁С₁D_1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок D₁A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6.

Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм³ в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей

Известно, что уравнение имеет хотя бы один корень. Найдите все значения параметра , при которых число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна , а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С

Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна , а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С

Найдите все значения , которые удовлетворяют неравенству < при любом значении параметра , принадлежащем промежутку

Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем

Найдите все положительные значения параметра a, при которых в области определения функции есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа

Найдите длину промежутка (или наибольшую из длин таких промежутков, если их несколько) тех значений параметра а, при которых число целых решений неравенства не менее 2 и не более 14.

Найдите длину промежутка (или наибольшую из длин таких промежутков, если их несколько) тех положительных значений параметра а, при которых множество решений неравенства содержит не менее двух и не более пяти двузначных, натуральных чисел

Найдите длину промежутка значений параметра а или сумму длин таких промежутков, если их несколько, при которых в решении неравенства есть хотя бы одно натуральное трехзначное число, но нет ни одного натурального четырехзначного числа

Найдите значение функции в точке максимума

Найдите количество всех решений системы уравнений

Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение x³ + 5x² + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2

Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет три различных действительных корня

Найдите наименьшее значение функции .

Найдите нули функции .

Найдите сумму значений параметра а, при которых количество корней уравнения (a – 30)x³ – 40x² + 20x = 0 равно количеству общих точек линий х² + у² = а и y = 6 – |x – 2|

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 3, и знаменателем –5<q<–1

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 4, и знаменателем -3 < q < -1

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным – 1, и разностью, меньше или равной 2

Найдите целое значение параметра а (или сумму таких целых значений), при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным – 1, и разностью, меньше или равной 2

Найдите число пар целых чисел (х;у), удовлетворяющих уравнению

Найдите число решений системы уравнений

Найдите число решений системы уравнений

Найдите число решений системы уравнений

Найдите число решений системы уравнений

Найдите число целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным – 8, и разностью, меньше или равной 6

Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором ÐА = 60°. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость , параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что . В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью . Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен .

Основанием пирамиды FABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = АС = 3, Ребро AF перпендикулярно ABC и равно 7 +. Точки L, М и N расположены соответственно на ребрах FC, АС и AF, а точка Р лежит на ребре АВ. При этом и . Найдите объем пирамиды LMNP

Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFВ и AFС. Найдите объем пирамиды

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный ' треугольник с катетами АВ = 4 и ВС = 6. Высота призмы равна 10. Найдите объем пирамиды с вершинами в точке C₁ и серединах ребер ВС, BB1 и A1B1

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник с катетами АВ = 1 и ВС = 4. Высота призмы равна 8. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке C₁ и основанием, совпадающим с сечением призмы плоскостью, проходящей через середины ребер ВС, ВВ₁ и A₁B₁

Пусть (x₀; y₀) – решение системы уравнений . Найдите произведение x₀ × y₀

Решите систему уравнений

Решите систему уравнений

Сторона основания первой правильной треугольной пирамиды равна . Вершина второй правильной треугольной пирамиды находится в центре основания первой. Вершины основания второй пирамиды расположены на трех ребрах одной из боковых граней первой пирамиды, причем одна из них – в середине основания. Найдите радиус окружности, описанной вокруг основания второй пирамиды

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна . Круг, вписанный в боковую грань, является основанием конуса, вершина которого совпадает с центром основания пирамиды. Найдите объем конуса

Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника

Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АC = 1

Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.