Список вопросов базы знаний

Правило Лопиталя

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Асимптоты кривой

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Наклонная асимптота графика

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Формула Тейлора

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Вертикальная асимптота графика

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Действительные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Множество

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Рациональные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Элементы множества

предметы, составляющие множество

Пустое множество

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Иррациональные числа

совокупность, набор каких-то предметов

Переменная величина

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Числовая последовательность

Величина, принимающая различные значения

– окрестность точки

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Предел числовой последовательности

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Окрестность точки

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Область значений переменной величины

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Ограниченная последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Бесконечно большая последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Единственность предела последовательности

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Монотонная последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Область значений функции

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

График функции y=f(x)

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Обратная функция и ее дифференцирование

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Функция

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Независимая переменная, аргумент

множество значений, принимаемых функций

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Область определения функции

множество (область) значений аргумента

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Предел функции при

, если для найдется такое N, что при

Предел переменной величины х

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел функции f(x) в точке (при )

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Бесконечно малая (б.м.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Касательная прямая

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Производная функции y=f(x)в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Непрерывность функции в точке

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Физические интерпретации производной

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Геометрический смысл производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Инвариантность формы записи дифференциала

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Дифференциал независимой переменной

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал функции y=f(x)

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Дифференцируемая функция

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Теорема Коши

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема (формула) Лагранжа

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема о хорде и касательной

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема Ролля

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Признак возрастания или убывания

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Точка перегиба

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Выпуклость (вогнутость) кривой

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

– выпукла, – вогнута

Признаки точки перегиба

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Точки максимума, минимума, экстремума

– функция возрастает, – функция убывает

Достаточный признак экстремума

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Признак выпуклости (вогнутости)

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума