Список вопросов базы знаний

Асимптоты кривой

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Формула Тейлора

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Наклонная асимптота графика

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Вертикальная асимптота графика

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Правило Лопиталя

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Пустое множество

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Элементы множества

совокупность, набор каких-то предметов

Рациональные числа

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Действительные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Иррациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Множество

предметы, составляющие множество

Окрестность точки

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

– окрестность точки

Величина, принимающая различные значения

Переменная величина

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Область значений переменной величины

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Числовая последовательность

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Предел числовой последовательности

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Единственность предела последовательности

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Монотонная последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Ограниченная последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Бесконечно большая последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

График функции y=f(x)

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Независимая переменная, аргумент

множество (область) значений аргумента

Область значений функции

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Функция

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Область определения функции

множество значений, принимаемых функций

Обратная функция и ее дифференцирование

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Бесконечно большая (б.б.)

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Бесконечно малая (б.м.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Предел функции при

, если для найдется такое N, что при

Предел переменной величины х

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Геометрический смысл производной

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Касательная прямая

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Физические интерпретации производной

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Производная функции y=f(x)в точке

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал функции y=f(x)

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Инвариантность формы записи дифференциала

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Дифференциал независимой переменной

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Дифференцируемая функция

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Теорема (формула) Лагранжа

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема Ролля

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема о хорде и касательной

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема Коши

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Точка перегиба

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Признаки точки перегиба

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Выпуклость (вогнутость) кривой

– выпукла, – вогнута

Признак возрастания или убывания

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Точки максимума, минимума, экстремума

– функция возрастает, – функция убывает

Достаточный признак экстремума

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Признак выпуклости (вогнутости)

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции