Список вопросов базы знаний

Правило Лопиталя

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Асимптоты кривой

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Вертикальная асимптота графика

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Наклонная асимптота графика

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Формула Тейлора

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Действительные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Пустое множество

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Рациональные числа

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Множество

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Иррациональные числа

предметы, составляющие множество

Элементы множества

совокупность, набор каких-то предметов

Область значений переменной величины

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Переменная величина

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Предел числовой последовательности

Величина, принимающая различные значения

Числовая последовательность

любой открытый интервал, содержащий эту точку

– окрестность точки

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Окрестность точки

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Бесконечно большая последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Ограниченная последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Монотонная последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Единственность предела последовательности

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

График функции y=f(x)

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Область значений функции

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Функция

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Обратная функция и ее дифференцирование

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Область определения функции

множество значений, принимаемых функций

Независимая переменная, аргумент

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

множество (область) значений аргумента

Предел функции при

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел функции f(x) в точке (при )

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Предел переменной величины х

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

, если для найдется такое N, что при

Бесконечно малая (б.м.)

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Геометрический смысл производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Физические интерпретации производной

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Производная функции y=f(x)в точке

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Касательная прямая

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференцируемая функция

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Дифференциал функции y=f(x)

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Инвариантность формы записи дифференциала

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал независимой переменной

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Теорема (формула) Лагранжа

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема о хорде и касательной

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Ролля

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема Коши

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Признак возрастания или убывания

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Точки максимума, минимума, экстремума

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Достаточный признак экстремума

– функция возрастает, – функция убывает

Выпуклость (вогнутость) кривой

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Признаки точки перегиба

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Признак выпуклости (вогнутости)

– выпукла, – вогнута

Точка перегиба

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции