Список вопросов базы знаний

Вертикальная асимптота графика

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Асимптоты кривой

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Наклонная асимптота графика

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Формула Тейлора

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Правило Лопиталя

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Действительные числа

предметы, составляющие множество

Элементы множества

множество, не содержащее ни одного элемента

Иррациональные числа

совокупность, набор каких-то предметов

Рациональные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Множество

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Пустое множество

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

– окрестность точки

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Предел числовой последовательности

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Числовая последовательность

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Окрестность точки

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Область значений переменной величины

Величина, принимающая различные значения

Переменная величина

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Единственность предела последовательности

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Монотонная последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Ограниченная последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Бесконечно большая последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Область определения функции

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

График функции y=f(x)

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Независимая переменная, аргумент

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

множество (область) значений аргумента

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Область значений функции

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Обратная функция и ее дифференцирование

множество значений, принимаемых функций

Функция

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Бесконечно большая (б.б.)

, если для найдется такое N, что при

Предел функции f(x) в точке (при )

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Бесконечно малая (б.м.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Предел переменной величины х

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Предел функции при

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Геометрический смысл производной

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Непрерывность функции в точке

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Касательная прямая

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Производная функции y=f(x)в точке

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Физические интерпретации производной

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Дифференциал функции y=f(x)

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Дифференцируемая функция

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал независимой переменной

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Инвариантность формы записи дифференциала

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Теорема Ролля

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Коши

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема о хорде и касательной

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема (формула) Лагранжа

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Достаточный признак экстремума

– выпукла, – вогнута

Выпуклость (вогнутость) кривой

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Признаки точки перегиба

– функция возрастает, – функция убывает

Точка перегиба

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Признак возрастания или убывания

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Признак выпуклости (вогнутости)

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Точки максимума, минимума, экстремума

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума