Список вопросов базы знаний

Формула Тейлора

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Наклонная асимптота графика

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Вертикальная асимптота графика

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Асимптоты кривой

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Правило Лопиталя

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Действительные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Рациональные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Пустое множество

множество, не содержащее ни одного элемента

Иррациональные числа

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Множество

предметы, составляющие множество

Элементы множества

совокупность, набор каких-то предметов

Область значений переменной величины

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Числовая последовательность

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

– окрестность точки

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Переменная величина

Величина, принимающая различные значения

Окрестность точки

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Предел числовой последовательности

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Бесконечно большая последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Ограниченная последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Монотонная последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Единственность предела последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

График функции y=f(x)

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Функция

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Обратная функция и ее дифференцирование

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Область значений функции

множество (область) значений аргумента

Независимая переменная, аргумент

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Область определения функции

множество значений, принимаемых функций

Бесконечно большая (б.б.)

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Бесконечно малая (б.м.)

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Предел переменной величины х

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел функции при

, если для найдется такое N, что при

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Производная функции y=f(x)в точке

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Касательная прямая

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Физические интерпретации производной

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Геометрический смысл производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Дифференциал независимой переменной

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Дифференцируемая функция

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Инвариантность формы записи дифференциала

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференциал функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Теорема (формула) Лагранжа

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема Ролля

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Коши

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема о хорде и касательной

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Признак выпуклости (вогнутости)

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Достаточный признак экстремума

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Выпуклость (вогнутость) кривой

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Признаки точки перегиба

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Точка перегиба

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Точки максимума, минимума, экстремума

– выпукла, – вогнута

Признак возрастания или убывания

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

– функция возрастает, – функция убывает