Список вопросов базы знаний

Асимптоты кривой

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Наклонная асимптота графика

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Вертикальная асимптота графика

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Формула Тейлора

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Правило Лопиталя

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Элементы множества

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Действительные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Иррациональные числа

совокупность, набор каких-то предметов

Рациональные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Пустое множество

множество, не содержащее ни одного элемента

Множество

предметы, составляющие множество

Переменная величина

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Предел числовой последовательности

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

– окрестность точки

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Окрестность точки

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Область значений переменной величины

Величина, принимающая различные значения

Числовая последовательность

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Монотонная последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Единственность предела последовательности

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Бесконечно большая последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Ограниченная последовательность

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

последовательность не может иметь двух различных пределов

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Функция

множество (область) значений аргумента

Независимая переменная, аргумент

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Обратная функция и ее дифференцирование

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Область определения функции

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Область значений функции

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

График функции y=f(x)

множество значений, принимаемых функций

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Бесконечно малая (б.м.)

, если для найдется такое N, что при

Бесконечно большая (б.б.)

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел переменной величины х

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Предел функции f(x) в точке (при )

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Предел функции при

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Геометрический смысл производной

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Касательная прямая

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Непрерывность функции в точке

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Производная функции y=f(x)в точке

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Физические интерпретации производной

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Дифференциал независимой переменной

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Инвариантность формы записи дифференциала

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференциал функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференцируемая функция

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Теорема о хорде и касательной

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Ролля

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема (формула) Лагранжа

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема Коши

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Выпуклость (вогнутость) кривой

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Признак выпуклости (вогнутости)

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Признаки точки перегиба

– функция возрастает, – функция убывает

Точки максимума, минимума, экстремума

– выпукла, – вогнута

Достаточный признак экстремума

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Точка перегиба

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Признак возрастания или убывания

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции