Список вопросов базы знаний

Правило Лопиталя

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Вертикальная асимптота графика

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Наклонная асимптота графика

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Асимптоты кривой

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Формула Тейлора

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Пустое множество

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Иррациональные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Элементы множества

предметы, составляющие множество

Множество

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Рациональные числа

совокупность, набор каких-то предметов

Действительные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Предел числовой последовательности

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Окрестность точки

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

– окрестность точки

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Область значений переменной величины

Величина, принимающая различные значения

Переменная величина

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Числовая последовательность

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Единственность предела последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Ограниченная последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Монотонная последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Бесконечно большая последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

График функции y=f(x)

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Функция

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Обратная функция и ее дифференцирование

множество (область) значений аргумента

Независимая переменная, аргумент

множество значений, принимаемых функций

Область значений функции

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Область определения функции

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Предел функции при

, если для найдется такое N, что при

Предел переменной величины х

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Бесконечно малая (б.м.)

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Физические интерпретации производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Геометрический смысл производной

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Производная функции y=f(x)в точке

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Касательная прямая

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Дифференцируемая функция

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференциал независимой переменной

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Инвариантность формы записи дифференциала

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Теорема (формула) Лагранжа

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Коши

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема Ролля

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема о хорде и касательной

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Признак выпуклости (вогнутости)

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Точки максимума, минимума, экстремума

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Признаки точки перегиба

– функция возрастает, – функция убывает

Признак возрастания или убывания

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Точка перегиба

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Достаточный признак экстремума

– выпукла, – вогнута

Выпуклость (вогнутость) кривой

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак