Список вопросов базы знаний

Асимптоты кривой

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Правило Лопиталя

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Наклонная асимптота графика

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Вертикальная асимптота графика

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Формула Тейлора

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Пустое множество

совокупность, набор каких-то предметов

Действительные числа

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Элементы множества

предметы, составляющие множество

Иррациональные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Множество

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Рациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Окрестность точки

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Предел числовой последовательности

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Числовая последовательность

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

– окрестность точки

Величина, принимающая различные значения

Область значений переменной величины

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Переменная величина

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Бесконечно большая последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Ограниченная последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Монотонная последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Единственность предела последовательности

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Область определения функции

множество значений, принимаемых функций

Область значений функции

множество (область) значений аргумента

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Функция

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Обратная функция и ее дифференцирование

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

График функции y=f(x)

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Независимая переменная, аргумент

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Предел функции при

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

, если для найдется такое N, что при

Предел переменной величины х

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Бесконечно малая (б.м.)

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Геометрический смысл производной

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Касательная прямая

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Физические интерпретации производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Производная функции y=f(x)в точке

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Непрерывность функции в точке

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Дифференцируемая функция

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Инвариантность формы записи дифференциала

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференциал независимой переменной

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Дифференциал функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Теорема Коши

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема Ролля

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема о хорде и касательной

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема (формула) Лагранжа

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Точки максимума, минимума, экстремума

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Признак возрастания или убывания

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Достаточный признак экстремума

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Точка перегиба

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

– выпукла, – вогнута

Признаки точки перегиба

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Признак выпуклости (вогнутости)

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Выпуклость (вогнутость) кривой

– функция возрастает, – функция убывает