Список вопросов базы знаний

Вертикальная асимптота графика

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Правило Лопиталя

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Асимптоты кривой

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Формула Тейлора

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Наклонная асимптота графика

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Элементы множества

совокупность, набор каких-то предметов

Иррациональные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Рациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Пустое множество

предметы, составляющие множество

Множество

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Действительные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Область значений переменной величины

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Числовая последовательность

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Окрестность точки

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Предел числовой последовательности

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Переменная величина

Величина, принимающая различные значения

– окрестность точки

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Ограниченная последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Монотонная последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Бесконечно большая последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Единственность предела последовательности

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Область значений функции

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Обратная функция и ее дифференцирование

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Независимая переменная, аргумент

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Область определения функции

множество (область) значений аргумента

Функция

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

График функции y=f(x)

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

множество значений, принимаемых функций

Предел функции при

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Бесконечно малая (б.м.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Предел переменной величины х

, если для найдется такое N, что при

Бесконечно большая (б.б.)

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Производная функции y=f(x)в точке

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Касательная прямая

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Геометрический смысл производной

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Физические интерпретации производной

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Инвариантность формы записи дифференциала

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал независимой переменной

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференцируемая функция

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Дифференциал функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Теорема о хорде и касательной

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема (формула) Лагранжа

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема Коши

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема Ролля

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Точка перегиба

– функция возрастает, – функция убывает

Выпуклость (вогнутость) кривой

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Точки максимума, минимума, экстремума

– выпукла, – вогнута

Признак возрастания или убывания

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Признаки точки перегиба

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Признак выпуклости (вогнутости)

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Достаточный признак экстремума

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума