Список вопросов базы знаний

Наклонная асимптота графика

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Вертикальная асимптота графика

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Правило Лопиталя

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Асимптоты кривой

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Формула Тейлора

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Множество

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Элементы множества

совокупность, набор каких-то предметов

Иррациональные числа

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Рациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Пустое множество

предметы, составляющие множество

Действительные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

– окрестность точки

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Окрестность точки

Величина, принимающая различные значения

Предел числовой последовательности

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Область значений переменной величины

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Переменная величина

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Числовая последовательность

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Монотонная последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Ограниченная последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Единственность предела последовательности

последовательность не может иметь двух различных пределов

Бесконечно большая последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Независимая переменная, аргумент

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Функция

множество (область) значений аргумента

Обратная функция и ее дифференцирование

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Область значений функции

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

График функции y=f(x)

множество значений, принимаемых функций

Область определения функции

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Бесконечно малая (б.м.)

, если для найдется такое N, что при

Предел функции f(x) в точке (при )

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Предел функции при

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел переменной величины х

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Производная функции y=f(x)в точке

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Геометрический смысл производной

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Физические интерпретации производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Касательная прямая

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференциал независимой переменной

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Дифференцируемая функция

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Дифференциал функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Инвариантность формы записи дифференциала

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Теорема (формула) Лагранжа

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Ролля

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема Коши

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема о хорде и касательной

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Достаточный признак экстремума

– выпукла, – вогнута

Точки максимума, минимума, экстремума

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Признаки точки перегиба

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Выпуклость (вогнутость) кривой

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Признак выпуклости (вогнутости)

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Точка перегиба

– функция возрастает, – функция убывает

Признак возрастания или убывания

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума