Список вопросов базы знаний

Вертикальная асимптота графика

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Асимптоты кривой

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Наклонная асимптота графика

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Формула Тейлора

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Правило Лопиталя

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Действительные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Рациональные числа

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Пустое множество

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Множество

предметы, составляющие множество

Элементы множества

совокупность, набор каких-то предметов

Иррациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Окрестность точки

Величина, принимающая различные значения

Переменная величина

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

Предел числовой последовательности

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Область значений переменной величины

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Числовая последовательность

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

– окрестность точки

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Бесконечно большая последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Единственность предела последовательности

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Ограниченная последовательность

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Монотонная последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Независимая переменная, аргумент

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Функция

множество (область) значений аргумента

График функции y=f(x)

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Обратная функция и ее дифференцирование

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Область определения функции

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Область значений функции

множество значений, принимаемых функций

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Предел функции при

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Бесконечно малая (б.м.)

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел переменной величины х

, если для найдется такое N, что при

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Физические интерпретации производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Непрерывность функции в точке

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Геометрический смысл производной

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Касательная прямая

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Производная функции y=f(x)в точке

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Инвариантность формы записи дифференциала

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференцируемая функция

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Дифференциал независимой переменной

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Дифференциал функции y=f(x)

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Теорема Ролля

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема о хорде и касательной

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема Коши

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема (формула) Лагранжа

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Выпуклость (вогнутость) кривой

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Достаточный признак экстремума

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Точки максимума, минимума, экстремума

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Признак выпуклости (вогнутости)

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Точка перегиба

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Признаки точки перегиба

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Признак возрастания или убывания

– выпукла, – вогнута

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

– функция возрастает, – функция убывает