Список вопросов базы знаний

Формула Тейлора

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Наклонная асимптота графика

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Вертикальная асимптота графика

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Правило Лопиталя

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Асимптоты кривой

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Множество

совокупность, набор каких-то предметов

Пустое множество

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Элементы множества

предметы, составляющие множество

Рациональные числа

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Действительные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Иррациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Окрестность точки

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Числовая последовательность

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

– окрестность точки

Величина, принимающая различные значения

Переменная величина

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Предел числовой последовательности

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Область значений переменной величины

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Монотонная последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Ограниченная последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Единственность предела последовательности

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Бесконечно большая последовательность

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

График функции y=f(x)

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Область значений функции

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

Независимая переменная, аргумент

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Функция

множество значений, принимаемых функций

Область определения функции

множество (область) значений аргумента

Обратная функция и ее дифференцирование

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Предел функции при

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Предел переменной величины х

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Бесконечно большая (б.б.)

, если для найдется такое N, что при

Бесконечно малая (б.м.)

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Предел функции f(x) в точке (при )

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Физические интерпретации производной

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Непрерывность функции в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Геометрический смысл производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Производная функции y=f(x)в точке

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Касательная прямая

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Дифференциал функции y=f(x)

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Инвариантность формы записи дифференциала

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал независимой переменной

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференцируемая функция

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Теорема о хорде и касательной

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема (формула) Лагранжа

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема Ролля

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Теорема Коши

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Признак выпуклости (вогнутости)

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Выпуклость (вогнутость) кривой

– функция возрастает, – функция убывает

Точки максимума, минимума, экстремума

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Достаточный признак экстремума

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Точка перегиба

– выпукла, – вогнута

Признаки точки перегиба

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Признак возрастания или убывания

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак